Записать уравнение касательной к линии y=корень из ( x-4) в точке с абсциссой x=8

Уравнение касательной:
y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)
f(x0) = f(8) = sqrt(8-4) = sqrt(4) = 2
f'(x) = 1/(2sqrt(x-4))
f'(x0) = 1/(2sqrt(8-4)) = 1/4

y=2+1/4 (x-8) = 2 + 1/4x - 1/2 = 3/2 + 1/4 x

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом!

У нас есть функция y = √(x - 4), и нужно записать уравнение для касательной к этой линии в точке x = 8.

Шаг 1: Найдем первую производную этой функции. Это поможет нам найти угловой коэффициент (или наклон) касательной кривой.

Для нахождения первой производной функции √(x - 4), мы применим правило дифференцирования для функции √(u), где u = x - 4:
dy/dx = 1/(2√(x - 4)) * 1

Просто упростим это выражение. У нас нет переменной u, поэтому оставим только 1:

dy/dx = 1/(2√(x - 4))

Шаг 2: Найдем значение производной в точке x = 8.

Подставим x = 8 в выражение для производной, чтобы получить значение производной в этой точке:

dy/dx = 1/(2√(8 - 4))
= 1/(2√4)
= 1/(2 * 2)
= 1/4

Таким образом, значение производной в точке x = 8 равно 1/4. Это является угловым коэффициентом касательной к линии в этой точке.

Шаг 3: Используем найденное значение производной и точку (8, √(8 - 4)) для записи уравнения касательной в общей форме.

Мы можем использовать уравнение прямой y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки и m - угловой коэффициент.

Замена точки (x1, y1) на (8, √(8 - 4)) и значений m на 1/4 дает нам уравнение:

y - √(8 - 4) = (1/4)(x - 8)

Шаг 4: Упростим это уравнение, чтобы получить его в более простой форме.

y - 2 = (1/4)(x - 8)

Распределение по уравнению дает нам:

y - 2 = (1/4)x - 2

y = (1/4)x

Таким образом, уравнение касательной к линии y = √(x - 4) в точке x = 8 равно y = (1/4)x.

Надеюсь, этот ответ понятен вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.