Сколько членов арифметической прогрессии нужно вписать между числами 1 и 31, чтобы сумма этих членов была вчетверо больше суммы двух наибольших из них?

Дано:

1. Формула n-го члена арифметической прогрессии: , отсюда разность прогрессии:

2. Сумма двух наибольших неизвестных членов:

3. Сумма всех неизвестных членов:

4. По условию сумма всех неизвестных членов вчетверо больше суммы двух наибольших из них, тогда:

     не удовлетворяет условию

В данной арифметической прогрессии всего 16 членов, значит, между числами 1 и 31 нужно вписать 16 - 2 = 14 членов.

ответ: 14.

Пусть мы вписали (n-2) числа
между 1 и 31,
тогда
Имеем арифметическую прогрессию
1, 1+d, 1+2d,...1+(n-2)d, 31
a¹=1
a²=1+d
a³=1+2d
...
аⁿ-²=1+(n-3)d
aⁿ-¹=1+(n-2)d
aⁿ=31
d- разность прогрессии

сумма вписанных членов прогрессии будет равна
сумме прогрессии
от 1 до 31
минус сами числа 1 и 31:

S(a²aⁿ-¹)=S(1 ...31)-1-31=
=½(1+31)n-32=16n-32=
=16(n-2)

сумма наибольших вставленных
между 1 и 31 членов прогрессии будет равна:
1+(n-2)d +1+(n-3)d=
=2+(2n-5)d
по условию
16(n-2)=4(2+(2n-5)d)
4(n-2)=2+(2n-5)d
4n-10=(2n-5)d
d=2
...
замечаем,что
aⁿ-¹=aⁿ-d
1+(n-2)d==31-d
(n-1)d=30
n-1=30/d
n=16

А вставили мы (n-2)=14 чисел

То есть между 1 и 31 вставлены числа:
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27 и 29
Всего этих чисел 14

ответ: 14 чисел