График прямой пропорциональности 11. Область определения этой функции – множество всех чисел.
2. Найдем некоторые соответственные значения переменных х и у.
Если х = -4, то у = -2.
Если х = -3, то у = -1,5.
Если х = -2, то у = -1.
Если х = -1, то у = -0,5.
Если х = 0, то у = 0.
Если х = 1, то у = 0,5.
Если х = 2, то у = 1.
Если х = 3, то у = 1,5.
Если х = 4, то у = 2.
3. Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых мы определили в пункте 2. Отметим, что построенные точки принадлежат некоторой прямой.
4. Определим, принадлежат ли этой прямой другие точки графика функции. Для этого найдем координаты еще нескольких точек графика.
Если х = -3,5, то у = -1,75.
Если х = -2,5, то у = -1,25.
Если х = -1,5, то у = -0,75.
Если х = -0,5, то у = -0,25.
Если х = 0,5, то у = 0,25.
Если х = 1,5, то у = 0,75.
Если х = 2,5, то у = 1,25.
Если х = 3,5, то у = 1,75.
Построив новые точки графика функции, замечаем, что они принадлежат той же прямой.
Если мы будем уменьшать шаг наших значений (брать, например, значения х через 0,1; через 0,01 и т. д.), мы будем получать другие точки графика, принадлежащие той же прямой и расположенные все более близко друг от драга. Множество всех точек графика данной функции есть прямая линия, проходящая через начало координат.
Т. о., график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через начало координат.
Если область определения функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, состоит не из всех чисел, то ее графиком служит подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, отдельные точки).
Для построения прямой достаточно знать положение двух ее точек. Поэтому график прямой пропорциональности, заданной на множестве всех чисел, можно строить по любым двум его точкам (в качестве одной из них удобно брать начало координат).
Пусть, например, требуется построить график функции, заданной формулой у = -1,5х. Выберем какое-либо значение х, не равное 0, и вычислим соответствующее значение у.
Если х = 2, то у = -3.
Отметим на координатной плоскости точку с координатами (2; -3). Через эту точку и начало координат проведем прямую. Эта прямая – искомый график.
Основываясь на данном примере, можно доказать, что График прямой пропорциональности 2всякая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями, является графиком прямой пропорциональности.
Доказательство.
Пусть дана некоторая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями. Возьмем на ней точку с абсциссой 1. Обозначим ординату этой точки через k. Очевидно, что k ≠ 0. Докажем, что данная прямая является графиком прямой пропорциональности с коэффициентом k.
Действительно, из формулы у = kх следует, что если х = 0, то у = 0, если х = 1, то у = k, т. е. график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; k).
Т. к. через две точки можно провести только одну прямую, то данная прямая совпадает с графиком функции, заданной формулой у = kх,
Пошаговое объяснение:
А1.
Найдём производную данной функции.
Найдём нули производной.
Определим знак производной на каждом промежутке.
- + 
----------------------------------
----------------------------------> x
Функция возрастает там, где её производная положительна. А значит, она возрастает на промежутке 
. Из перечня ответов полностью в этот промежуток входит только 
.
ответ: 3.
А2.
Найдём производную данной функции.
Найдём нули производной.
По теореме Виета:
Определим знак производной на каждом промежутке.
+ - +
---------------------------------------------------------------> x
Функция убывает там, где её производная отрицательна. В нашем случае, на промежутке ![\bf{[1; 8]](/tpl/images/1729/3052/46b37.png)
. Ему соответствует вариант номер 2.
ответ: 2.
А3.
В точках минимума функция из убывания переходит в возрастание. На данном графике 4 такие точки (см. вложение).
ответ: 1.
А4.
Найдём производную данной функции.
Найдём нули производной.
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. Проверим это, определив её знак на каждом промежутке:
+ -
--------------------------------------------------------------------> x
Полученные знаки соответствуют изложенному выше условию. Значит, 2 является точкой максимума функции.
ответ: 4.
А5.
Найдём производную.
Найдём нули производной.
У производной нашлось 2 нуля. В то же время, производная равна нулю в точках экстремума графика функции. А значит, функция имеет две точки экстремума.
ответ: 1.
А6.
Точки максимума на графике производной соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На нашем графике это происходит в точке с абсциссой 3.
ответ: 2.
А7.
Найдём производную функции.
Найдём нули производной.
У производной нашлось 2 нуля. Найдём её знак на каждом промежутке.
+ - +
--------------------------------------------------------> x
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. Такой точке соответствует 2.
ответ: 4.
А8.
На заданном отрезке функция имеет одну точку максимума. Она соответствует значению функции, равному трём.
ответ: 2.
