Машенька встретила в лесу 23 месяца, из которых ровно 12 настоящие, говорят только правду, а остальные - ненастоящие, могут говорить как правду, так и ложь. любому месяцу машенька может задать вопрос, настоящим ли является такой-то месяц (возможно, спросить, настоящий ли он сам). удастся ли машеньке найти всех настоящих месяцев, задав не более 40 вопросов?

Задача несложная и решается прямыми последовательными выкладками.
Сперва доказываем, что четырехугольник (из условия задачи - равнобочная трапеция) АМКД лежит в одной плоскости с треугольником АМК:
т. к. точки М и К середины сторон SB и SC треугольника BSC, следовательно линия MK является средней линией треугольника BSC, а следовательно параллельна его основанию BC. Т. к. ABCD основание правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами, то ABCD есть квадрат и MK параллельна AD. Отрезки DK и АМ пересекаются одновременно с MK и АD каждая, следовательно они лежат с MK и AD в одной плоскости. Далее понятно.
Теперь, чтобы найти угол между пересекающимися плоскостями, нужно найти угол между перпендикулярами, восстановленными из точки прямой пересечения плоскостей в каждой плоскости. обозначим эту точку О. Пусть это будет перпендикуляр, опущенный из вершины S треуголmника ADS. В плоскости AMKD восстановим перпендикуляр из точки О, он пересечет отрезок MK в точке L. Теперь наша задача сводится к:
1) нахождению угла SOL в образовавшемся треугольнике SOL
2) нахождению угла SLO в треугольнике SOL
Т. к. все ребра в правильной пирамиде равны, то все грани пирамиды есть равносторонние треугольники с углами при основании 60.
Тут проще работать с проекцией треугольника SOL, но я не буду этого делать, а вычислю все стороны треугольника и исходя из теоремы косинусов найду требуемые по условию задачи углы. Итак, OL можно найти как высоту равнобочной трапеции. Находим разность оснований, делим на 2, и по теореме пифагора находим высоту.
OL=корень (АМ^2 - [(AD-MK)/2]^2
AD=4; MK=BC/2=4/2=2; AM =2*корень (3) - высота равностороннего треугольника со стороной 4.
OL=корень (11)
SO=2*корень (3) - т. к. есть высота равностороннего треугольника со стороной 4.
SL=корень (3) - т. к. есть половина высоты равностороннего треугольника
Теперь из теоремы косинусов получаем:
3=12+11-2*2*корень (3)*корень (11)*cos(SOL) ==> угол (SOL)=arccos(5/корень (33))
12=3+11-2*корень (3)*корень (11)*cos(SLO) ==> угол (SLO)=arccos(1/корень (33))

1) периметр - это сумма сторон

P = 2 ( a + b)

1 см = 10 мм

420 мм = 420 : 10 = 42 см

42 : 2 = 21 см - сумма длины и ширины

Длина:20 см   19 см    18 см  17 см   16 см   15 см   14 см   13 см  12 см  11 см

Ширина: 1 см  2 см     3 см   4 см    5 см    6 см    7 см     8 см    9 см   10 см

Площадь может быть:

20 см, 38 см, 54 см,  68 см,  80 см, 90 см, 98 см, 104 см,  108 см, 110 см

64 : 2 = 32 см - сумма длины и ширины, например:

длина         31 см      30 см     29 см     28 см    

ширина       1 см        2 см        3 см        4 см    

Площадь может быть:

31 см, 60 см, 87 см, 112 см,

460:10=46 см

46 : 2 = 23 см - сумма длины и ширины, например :

длина       22 см      21 см     20 см    19 см    12 см

ширина     1 см         2 см       3 см      4 см    11 см

Площадь может быть:

22 см, 42 см, 60 см, 76 см, 132 см.