1. За шляпой он не вернулся, а громко задыхаясь, побежал через широкую улицу на противоположный угол — громко задыхаясь (д).
задыхаясь→(как?) громко
2. Мама, весело засмеявшись, обняла сына — весело засмеявшись (д).
засмеявшись→(как?) весело
3. Отправляясь в путешествие, мы всегда брали с собой карту — отправляясь (д) в путешествие.
отпрвляясь→(куда?) в путешествие