Слитно или раздельно? При всём при этом просишь, ЧТО(БЫ) я себя не накручивал.

Союз «чтобы» в данном случае пишется слитно.

Если предложение можно произнести без частицы «бы», значит «что бы» пишется раздельно.

Но тут можно задать вопрос от главного предложения к придаточному (в данном случае, это придаточное цели, т.к. есть союз «чтобы»):

При всём при этом просишь (ЗАЧЕМ? ДЛЯ ЧЕГО? ДЛЯ КАКОЙ ЦЕЛИ? С КАКОЙ ЦЕЛЬЮ?), чтобы я себя не накручивал.

Слитно или раздельно?

При всём при этом просишь, ЧТО(БЫ) я себя не накручивал.

Союз ЧТОБЫ пишем слитно.

А это именно союз, так как частицу БЫ от ЧТОБЫ убрать нельзя.