6. Укажите вид предложений по цели высказывания." Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у вас ,
А сердце умным будет "​

1) Девочка Катя, задумавшись о своих делах, пропустила объявление учителя.

2) Антон сломя голову помчался в школу, потому что опаздывал.
"Сломя голову" - фразеологизм, который на письме запятыми не выделяется.

3) Пунктуация нарушена в предложениях 1 и 4:
Солнце, вырвавшись из-за туч, весело засияло.
Толкаясь и громко смеясь, мальчики отправились домой.

(у Вас еще грамматическая ошибка в предложении "КупиВ новый мобильный телефон, Антон тут же потерял старый.")

4) Пропущены запятые в деепричастных оборотах:
Выйдя на крышу, Олег радостно вдохнул холодный воздух. 
Марина знала, что, поехав на море, отец не забудет привести ей чего-нибудь интересного.
Бабушка, услышав неожиданные новости, схватилась за голову.

1)служебная часть речи, с которой связывают между собой простые предложения в составе сложного или однородные члены предложения

2)Наступила поздняя осень, целые дни дует холодный ветер(осень,ветер-подлежащее,наступила,дует-сказуемое)Закружились снежные хлопья, понеслись по земле белые вихри.(хлопья,вихри-подлежащее,закружились,понеслись-сказуемое)

3)Улетают журавли,низкие облака заволакивают небо. Сияло солнце ,зеленели берёзы и  свистели птицы. Взошло солнце,но дождь не кончился. Наступила ночь и на небе показались  звёзды. Девочки рисуют кукол,а мальчики смотрят мультфильмы.

4)Солнце стало припекать и побежали первые ручьи.  Всю ночь бушевала гроза,но утром была прекрасная погода.  Небо потемнело,а дождь не пошёл.