1. Только вовлЕкая все больше людей в маССовый спорт, мы сможЕм достичь прогреССа.
Оборот - только вовлЕкая все больше людей в маССовый спорт.
2. Зрители аплодировали гимнастам стоя.
Стоя - одиночное деепричастие.
3. В упорной борьбе завоевав на зимних Азиатских играх 70 мЕдалей, наша страна стала абсолютным лидером.
Оборот - в упорной борьбе завоевав на зимних Азиатских играх 70 мЕдалей.
4. Теперь ты должен работать не разгибая спины.
Не разгибая спины - фразеологизм, поэтому не отделяется запятой.
5. Однажды встретив его на улице, я шутя заметил, что он стал спортивной знАменитостью.
Оборот - однажды встретив его на улице; шутя - одиночное деепричастие.
6. Лишь имея прочные знания и хорошее здоровье, можно добиТЬся успехов в жИзни.
Оборот - лишь имея прочные знания и хорошее здоровье.
