1. в каком предложении допущена пунктуационная ошибка? а) извинившись перед гостями, хозяин вышел, но скоро вернулся. б) они просидели всю ночь, не смыкая глаз. в) выйдя за ворота, они тут же повернули направо. г) каштанка, вскочив, присела на все четыре лапы и, протягивая к коту морду, залилась громким лаем.

Пунктуационная ошибка  в предложении б) Они просидели всю ночь не смыкая глаз

"не смыкая глаз" в предложении не обособляется запятой, так как этот деепричастный оборот является  фразеологизмом (устойчивой конструкцией)

Точно так же не обособляются запятыми фразеологизмы "(мчался) сломя голову", "(работал) спустя рукава", "(слушал) развесив уши", "(бежал) высунув язык". Если такие выражения употреблять в предложении, то запятые ставить не надо.