1) Назначение искусства людям полюбить жизнь.
(Что?) назначение - подлежащее (имя существительное).
Назначение (Это полюбить - сказуемое (инфинитивы).
Подлежащее выражено именем существительным, а сказуемое инфинитивом, между ними требуется поставить тире.
2) Мое единое отечество( сущ. им.п. - ) – моя пустынная душа( сущ. им.п. - ). 3). Удивительное дело – сон (Тургенев).
[тире подчеркивает интонационное деление]
Объяснение: