Синтаксические кормы нарушены в предложениях: 1) умей ценить и радоваться каждому мгновению жизни, 2) он был преподавателем, имевший большой авторитет. 3) ничто не препятствовало моим одиноким прогулкам по улочкам старого города. 4) дедушке, приняв необходимые лекарства, становится гораздо легче, 5) нам часто вопрос, можно ли стать диктором, не обладая приятным тембром голоса.

1) Умей ценить и радоваться каждому мгновению жизни, (однородные члены требуют разных падежей) Умей ценить каждое мгновение и радоваться им.

2) Он был преподавателем, имевший большой авторитет.( нарушено согласование) Преподавателем КАКИМ? имевшим

4) Дедушке, приняв необходимые лекарства, становится гораздо легче, Некорректно введен деепричастный оборот. Приняв лекарство, дедушка чувствует себя лучше.