Мне кажется врачОм.
Вот правило:
После ШИПЯЩИХ под ударением пишется буква О в соответствии с произношением
В окончаниях существительных в формах именительного падежа (среднего рода) и творительного падежа под ударением: плечо, вожжой, клещом (то есть врачОМ)
Врачом, т.к. при окончание ударное. Если на окончание или суффикс падает ударение, знаит пишется О, если окончание или суффикс безударный=>Е
