Подхватив оглобли, старик припадает к земле и летит вперед, едва касаясь земли легкими ступнями.
подхватив оглобли - управление; зависимое слово ставится при главном в определённом косвенном падеже : подхватив (что?) оглобли (В.п.)
припадает к земле - управление; зависимое слово ставится при главном в определённом косвенном падеже : припадает (к чему?) к земле (Т.п.)
летит вперёд - примыкание; зависимое неизменяемое слово связывается с главным только по смыслу и интонационно
едва касаясь - примыкание; зависимое неизменяемое слово связывается с главным только по смыслу и интонационно
касаясь земли - управление; зависимое слово ставится при главном в определённом косвенном падеже : касаясь (чего?) земли (Р.п.)
касаясь ступнями - управление; зависимое слово ставится при главном в определённом косвенном падеже : касаясь (чем?) ступнями (Т.п.)
лёгкими ступнями - согласование; зависимое слово согласуется в числе и в падеже (в мн.ч., в Т.п.)
Однажды их путям снова суждено будет сойтись, и в один прекрасный день их взгляды устремятся в небо, а глаза будут пылать надеждой, когда-то угасшей в глазах (лексический повтор) одного из них, но глубоко сохранившейся в сердце – носителЕ (сохранившейся в ком? в чем?) веры и чуткой души...
Во 2-ом предложении я бы поставила глагол в будущее время, т.к. в 1-ом предложении (см. выше) все глаголы стоят в форме будущего времени:
В этот самый миг как будто вновь повторИтся когда-то начатая история, давшая начало новому знакомству двух совершенно разных, но в то же время до жути схожих между собой родственных душ.
Новое, 3-ье предложение я бы написала с красной строки (там и время глаголов уже не будущее, а ведь речь идёт о том, что БЫЛО):
Отношения между ними были подобны дружеским отношениям двух давно знакомых людей, однажды перенёсшим (разлуку нельзя перетерпеть, но можно перенести) долгую разлуку, которая как будто (частица БЫ лишняя) сочла необходимым сделать их чужими. (нужна точка)
И _ (запятая не нужна, т.к. это НЕ вводная конструкция) кто бы мог подумать, что одна случайная встреча так тягостно повлияет на судьбу одного (лексический повтор) из них (лучше заменить на личное местоимение), после (убираем слово ВСТРЕЧИ, оно лишнее) которой жизнь как будто (частица БЫ лишняя) перевернулась с ног на голову, но подариЛА (нельзя делать однородными членами глагол и причастие) её (чьему миру? непонятно...) миру более насыщенные краски...
