Может.
Я не мог не знать! (я знал)
Он не может не бояться пауков! (он боится пауков)
Я не могла не тебе в трудную минуту. ( я тебе)
Не следует не учить уроки! ( учи)
Да, может. Частица не употребляется:
в восклицательных и вопросительных предложениях, начинающихся с местоимения, наречия, частицы - Кто не проклинал станционных смотрителей, кто с ними не бранивался?
в качестве повторяющейся в составном глагольном сказуемом - Я не мог не признаться в душе, что мое поведение в симбирском трактире было глупо
