ответ - 4. Во всех остальных случаях "да" можно заменить союзом "и", и оно не будет частицей.
4) Вероятно, слух о твоих дружеских путешествиях с Пугачёвым как-нибудь да дошёл до правительства.
"Да" - утвердительная частица, синонимична с словом этой же части речи: "так точно".