Какими образованы слова : песочница ,меинститутский ,мороженое,по-молодому

Песочница - суффиксальный (добавили суфф. НИК, и замена (чередование) корневой К на Ч)

мединститутский (приставочный, к слову институтский добавили приставку МЕД)
морожение - переход из одной части речи  в другую (из прилаг. в сущ)

по-молодому (приставочно-суффиксальный), приставку ПО, суффикс ОМУ