Учитель ещё раз произнёс слова напутственные (нужна ли запятая?) и добрые.

Союз И соединяет
Шаляпин, приезжая в новый город (нужна ли запятая?) и входя в приготовленный ему номер, бережно вынимал ящик из портфеля и прятал его под кровать.

Союз И соединяет
3. За неделю мы обошли все парки этого городка (нужна ли запятая?) и местные музеи, и немногочисленные достопримечательности.

Союз И соединяет

1.Учитедь ещё раз произнёс слова напутственные и добрые.(запятая не нужна, т.к союз "и" соединяет однородные члены )

2.Шаляпин, приезжая в новый год и входя в номер, бережно вынимал ящик из портфеля и прятал его под кровать.(запятая не нужна, т.к ОЧП в деепричастном обороте соединены союзом "и" )

3. За неделю мы обошли все парки этого городка, и местные музеи, и немногочисленные фабрики. (Запятая нужна, т.к здесь ОЧП с повторяющимся союзом "и")