1) Содержится ли в этом предложении три грамматические основы, если да, то какие? Сокол был любимцем русских царей. При том же Иване Грозном даже дорожную подать с купцов брали голубями для корма соколам. А царь Алексей Михайлович предавался соколиной охоте даже в ущерб государственным делам. 

2) Доказать, что предложение с бессоюзной и подчинительной связью

Да потому, что сокол здесь вообще ни при чём! Сокол – это старинное стенобитное военное орудие. Оно выглядит как абсолютно гладкая чугунная болванка, подвешенная на цепях.

1. убраны - причастие  (что сделаны? каковы?)
2. Морфологические признаки
Н.ф. - убран (или полная форма убранный)
постоянные признаки 6 страдательное время, соверш.вид
непостоянные признаки: в краткой форме, во мн.числе
3. (что сделаны?0 убраны - сказуемое

1. надвигающейся - причастие (какой?)
2. Морфологические признаки
Н.ф.  надвигающийся
постоянные признаки:  действительное, настоящее время, несов. вид
непостоянные:  в ед.числе, в жен.роде, в пред. (или род.) падеж (без существительного падеж правильно не определить)
3. надвигающейся (какой?) определение

1. Отяжелённой - причастие (какой?)
2. Морфологические признаки
Н.ф. - отяжелённый
Постоянные:  страдательное время, совер.вид
непостоянные: в полной форме, в ед.числе, в ж.роде, твор.падеж
3. отяжелённой (какой?) - определение

А можно просто схему разбора написать? Больно уж тут много причастий...

I. Общее грамматическое значение (признак предмета по действию).
II. Морфологические признаки.
   1. Начальная форма (полное причастие мужского рода, единственного числа, именительного падежа).
   2. Глагол, от которого образовано причастие (начальная форма - инфинитив), и суффикс причастия.
   3. Постоянные признаки:
       а) действительное или страдательное;
       б) время (настоящее или
       в) вид (совершенный или несовершенный);
       г) возвратность (возвратное или невозвратное);
       д) переходность (переходное или непереходное).
   4. Непостоянные признаки:
       а) полная или краткая форма (у страдательных причастий);
       б) число;
       в) род (в единственном числе);
       г) падеж (у причастий в полной форме).
III. Синтаксическая роль.