Троекуров, надменный в отношениях с людьми самого высшего звания, уважал дубровского, несмотря на его смиренное состояние. каким членом предложения является несмотря на его смиренное состояние.

Троекуров, надменный в отношениях с людьми самого высшего звания, уважал Дубровского, несмотря на его смиренное состояние.
Несмотря на -предлог, (образовался в результате перехода одной части речи в другую)Деепричастие писалось бы раздельно.