Сказал попугай попугаю: "я тебя, попугай, попугаю! "ответил ему попугай: "попугай, попугай, попугай! " попугай - сущ, попугай- глагол. являются ли эти слова однокоренными, !

Нет, не являются, потому что у сущ. попугай корень попуг, а у гл. попугай корень пуг (приставка по и суфикс а)