объясните написание выделенных букв. превосходно по тому времени образование; её обучили арифметике за границей ; она учтаствовала в создании; писала комедии; наладила работу академической типографии гимназии; бесплатные; курсы по ; убедительно.

ПрЕвосходно (значение приставки пере-), по тому временИ (разноспрягаемое сущ., в Д., Р., П. падежах окончание -и), обрАзование - словарное слово, корень образ-, арифметикЕ (1 скл., дат. падеж), за границЕй ( в окончании без ударения после Ц пишется Е), в созданиИ ( сущ. на -ие после И пишем И), комедиИ (у сущ. во множ. числе 1 скл. пишется окончание -и/-ы), типографиИ (в сущ. на -ия пишется И после И), гимназии (в сущ. на -ия после И пишется И), беСплатные (в приставке пишется С перед глухой П), по математикЕ (1 скл., дат. падеж), геометриИ (в сущ. на  -ия пишется И после И, убЕдительно - словарное слово.