Подскажите описание расстановки знаков препинания(всех, особенно двух запятых возле что) ! скажут даже, что, потеряв партнера, лебедь горюет так, что бросается сверху на землю и погибает.

Перед "что" всегда ставится запятая,а тут их две,так как перед "деепричастием" также ставится запятая.

Перед "что" стоит запятая, т.к перед "что" почти всегда запятая ставится. После "что" и после "партнера" стоят запятые т.к. идет деепричастный оборот (он двух сторон выделяется запятыми) 
Перед "что" опять запятая.