Небо затянулось облаками, и пошел тихий серый дождь.
Это сложное предложение, имеет две грамматические основы, поэтому ставится запятая.
Все остальные предложения простые, они имеют однородные сказуемые, союз и употребляется один раз, запятая не ставится.
Павел сел на табуретку у стола и устало склонил голову на ладонь.
Над рекой висели и расплывались серые клочья тумана.
Снег розовел на солнце и синел в тени.
