Это наречие, а значит, слово наперебой пишется слитно. Наречия всегда пишутся именно так, приставок там нет и быть не может. Нужно просто запомнить это несложное правило. То есть вначале определяем, какая часть речи, а уж если это оказалось наречие, то сомнений в слитном написании возникнуть не должно.
