Синтаксический разбор предложений тут поднимались удушливые испарения, и эта часть острова была пустынна. на местах, темневших сожжёнными и ржавыми пятнами, вились струйки пара и огня. это горячие газы прорывались сквозь окрепшую на солнце кору ила.

Тут поднимались удушливые испарения, и эта часть
острова была пустынна. Это предложение сложное, союзное, сложносочинённое;состоит из двух предложений (частей): первое- тут поднимались удушливые испарения,второе- и эта часть острова была пустынна.Эти предложения связаны между собой сочинительным,соединительным союзом и.Перед союзом и ставится запятая. Грамматическая основа  испарения -подлежащее, поднимались сказуемое.
Это горячие газы прорывались сквозь окрепшую на солнце кору ила.
Это простое предложение,по цели высказывания повествовательное,,двусоставное,распространённое,полное. Грамматическая основа - газы прорывались. Газы-подлежащее,выражено существительным мн.ч.,прорывались-сказуемое, выражено глаголом в форме изъявительного наклонения времени.
 Второстепенные члены предложения горячие-какие? определение выражено  качественным прилагательным,полное,.
Сквозь- обстоятельство,выражено наречием.
Окрепшую-какую? определение выражено кач.прил.,полное.
На солнце-дополнение,выражено сущ. с.р.ед.ч. п.п.
Кору-что? дополнение выражено сущ.ж.р.ед.ч. В.п.
Ила-чего? дополнение выражено сущ. м.р.ед.ч.Р.п