Объясните почему слово "не по-товарищески" пишется именно так.

Во-первых, это слово является наречием. Во-вторых, есть такое правило в русском языке:дефис в наречиях пишется, если в слове есть суффиксы -ому, -ему, -и.

Чистица не с наречиями пешется разделтно

по-товрещски пишется с черточкой