Почему не ставятся запятые перед словом «после» и после слова «усилий» в предложении «на дне лодки я нашёл половину старого весла и кое-как после долгих усилий причалил к берегу.»

Они здесь не нужны. Грамматическая основа в этом предложении: Я нашел, причалил.
Причалил (как?) кое-как(обстоятельство выраженое наречием. Причалил (после чего?) усилий.