Дороженьки, "ж" начинает звучать.
Дорожка однокоренное проверочное слово с проверочной согласной в корне: дорожек.
По произношению проверочного слова становится понятно, что в корне слова "дорожка" пишется буква "ж", а не "ш", как слышится.
Гласная "о" в первом слоге не проверяется проверочным словом. Это словарное слово, его написание необходимо запомнить.
