При делении целых чисел на 11 мы получаем остатки от 0 до 10. Рассмотрим какие остатки могут давать целые числа в пятой степени при делении на 11. Для этого достаточно возвести числа от 0 до 10 в пятую степень и рассмотреть остатки от их деления на 11. В итоге получим, что при делении целых чисел в пятой степени на 11 получаются остатки 0, 1 и 10. В левой части уравнения стоит сумма трех целых чисел в пятой степени. Следовательно, она может давать остатки 0, 1, 2, 3, 8, 9 и 10. Но 2009 при делении на 11 дает остаток 7. Следовательно уравнение не имеет решений в целых числах.
