1) tg x + 3/tg x = 4, ОДЗ tg x <> 0
множим уравнение на tg(x), который по ОДЗ не ноль
(tg x)^2 - 4 tg x + 3 = 0
видим здесь квадратное уравнение относительно tg x.
а ещё видим, что сумма показателей степеней равна 1-4+3 = 0, поэтому один корень =1, второй по т.Виетта =3
уравнение распадается на совокупность
tg x = 1
tg x = 3
выписываем решение:
x = arctg(1) + pi n, где ncZ
x = arctg(3) + pi k, где kcZ
ну можно ещё вспомнить, что arctg(1) = pi/4
2) вспоминаем формулу косинуса двойного угла:
cos 2a = 2 cos^2 a - 1
если a = x/2, то исходное уравнение может быть представлено как
cos x + 1 + sin x = 0
вобщем, тут уже очевидно, что либо cos x =0, sin x =-1, либо cos x=-1, sin x =0
но чтобы совсем честно решать, придётся поколдовать.
синус направо и всё в квадрат!
(cos x +1)^2 = sin^2 x
cos^2 x + 2 cos x + 1 = 1 - cos^2 x
2 cos^2 x + 2 cos x = 0
cos x (cos x + 1) = 0
произведение обращается в ноль если хотя бы один из множителей обращается в ноль. значит опять совокупность:
cos x = 0
cos x = -1
x = pi/2 + pi n , ncZ,
x = pi + 2pi k, kcZ
но тут небольшая грабля. чуть выше мы возводили к вадрат. а нулевому косинусу соответствуют два значения синуса: +1 и -1. и один из них нам не подходит.
вобщем, проверяем корни и убеждемся, что из первой последователности половина значений выпадает (pi/2 + 2pi n НЕ являются корями. а pi/2 + pi + 2pi n - удовлетворяют)
ответ
x = 3pi/2 + 2pi n , ncZ,
x = pi + 2pi k, kcZ
Дана система уравнений:
{x²+xy-12y²=0
{2x²-3xy+y²=90.
Первое уравнение представим так:
x²- (3xy + 4xy) + (-3y*4y) = 0.
Это равносильно разложению на множители:
(x - 3y)(x + 4y) = 0.
Отсюда выразим у = х/3 и у = -х/4, которые подставим во второе уравнение.
Подставим у = х/3.
2x² - 3x(х/3) + (х/3)² = 90,
2x²- x²+ (x²/9)=90,
10x²= 9*90
x = ± 9.
y = ± 9/3 = ± 3.
Найдены 2 корня: х1 = -9, у1 = -3, х2 = 9, у2 = 3.
Подставим у = -х/4.
2x² - 3x(-х/4) + (-x/4)² = 90,
2x²+ (3x²/4)+ (x²/16)=90,
32x² + 12x² + x²= 16*90.
45x²= 16*90
x = √32 = ±(4√2).
y = ± (4√2/4) = ± √2.
Найдены ещё 2 корня: х3 = -(4√2), у1 = √2, х4 = (4√2), у4 = -√2.
ответ: х1 = -9, у1 = -3, х2 = 9, у2 = 3.
х3 = -(4√2), у1 = √2, х4 = (4√2), у4 = -√2.
