6. Не розв'язуючи вказане квадратне рівняння , обчисліть для нього значення
виразів х 1 +х 2 і 3х 1 х 2 , де х 1 і х 2 – корені рівняння.
2
Х 2 -8х+6=0
7.Встановіть відповідність між квадратним рівнянням та коренями цих
рівнянь:
1. х 2 +5х+6=0 а) 0; 1/2
2. х 2 -4х+4=0 б) 1; 1/5
3. х-2х 2 =0 в) 2
4. 5х 2 -6х+1=0 г) 0; 2
д) -2;-3
8. Розв'яжіть рівняння а) 4-( 1-х 2 )=0; б) 4х+х 2 = 3х-х 2 .
3 2
9. Один із коренів рівняння 7х 2 -bх-22=0 дорівнює 2. Знайдіть другий корінь і
коефіцієнт b.

1) Выделяем полные квадраты:

для y:  (y²+2*7y + 72) -1*72 = (y+7)²-49

Преобразуем исходное уравнение:

(y+7)² = 6x - 0

Получили уравнение параболы:

(y - y0)² = 2p(x - x0)

(y+7)² = 2*3(x - 0)

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;-7)

Параметр p = -3.

Координаты фокуса:  F(-p/2; yo) = (-1,5; -7).

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2

x = 0 - 3/2 = -3/2.

2) Выделяем полные квадраты:

для x:  (x²-2*1x + 1) -1 = (x-1)²-1

для y:  -4(y²+2*3y + 3²2) +4*3² = -4(y+3)²+36

В итоге получаем:

(x-1)²-4(y+3)² = -68

Разделим все выражение на -68

(-1/68)(x - 1)² + (1/17)(y + 3)² = 1.

Параметры кривой.

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

C(1; -3)

и полуосями:  a = 2√17, b =√17.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

Определим параметр c: c² = a² + b² = 68 + 17 = 85

c = √85.

Тогда эксцентриситет будет равен:  e = c/a = √85/2√17.

Асимптотами гиперболы будут прямые:  y + 3 = (1/2)(x - 1) и

y + 3 = (-1/2)(x - 1).

Директрисами гиперболы будут прямые:   +-е/а = +-(√68/√85).

1. х - скорость течения реки.
По течению со скоростью (18+х)км/час 80 км за время:
80/(18+х) час
Против течения те же 80 км со скоростью (18-х)км/час за время:
80/(18-х), т.к. общее время 9час, то: 80/(18+х) + 80/(18-х) = 9;
80·(18-х) + 80·(18+х) = 9(18+х)·(18-х), раскроем скобки, сократим члены с противоположными знаками,разделим все члены уравнения на 9 и получим:  х² = 4, х₁=2(км/час.
(Отрицательную скорость течения х₂ отметаем)
2.а)  х²/(х+3) = 1/4; 4х² - х-3 =0;   х₁ =(1+7)/8 =1; х₂ = (1-7)/8= -3/4
б) (х²-х)/(х+3) = 12/(х+3); х²-х-12 =0;  х₁ = (1+7)/2=4; х₂ =(1-7)/2=-3
3. у =(х²-5х+6)/(х²-4), у=0;    (х²-5х+6)/(х²-4)=0. , Отбрасываем знаменатель, так ка дробь равна нулю, когда ее числитель равен 0;   х² - 5х + 6 =0;     х₁=(5+1)/2 = 3: х₂ =(5-1)/2 =2