УМОЛЯЮ РЕШИТЕ ОДИН НОМЕР ОТ

Неравные числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, если и только если 2b = a + c

Применяем это свойство для тройки m^2, 2m + 3, 3m + 4:
2(2m + 3) = m^2 + (3m + 4)
m^2 + 3m + 4 = 4m + 6
m^2 - m - 2 = 0
По теореме Виета сумма корней равна 1, произведение -2; m = -1 или m = 2

Проверяем: 
1) m = -1
m^2, 2m + 3, 3m + 4, m^2 + m + 7 = 1, 1, 1, 7 – не арифметическая прогрессия
2) m = 2
m^2, 2m + 3, 3m + 4, m^2 + m + 7 = 4, 7, 10, 13 – арифметическая прогрессия, соседние члены отличаются на 3.

ответ: m = 2, числа 4, 7, 10, 13

Формула n-го члена геометрической прогрессии с первым членом c1 и знаменателем q: cn = c1 * q^(n - 1)
Сумма первых n членов геометрической прогрессии: Sn = c1 * (q^n - 1)/(q - 1)

c6 - c4 = c1 q^5 - c1 q^3 = c1 q^3 (q^2 - 1) = c1 q^3 (q - 1)(q + 1) = 135
c6 - c5 = c1 q^5 - c1 q^4 = c1 q^4 (q - 1) = 81

Делим первое равенство на второе:
(q + 1)/q = 135/81 = 5/3
1 + 1/q = 5/3
1/q = 5/3 - 1 = 2/3
q = 3/2

Подставляем найденное значение:
с1 (3/2)^4 (3/2 - 1) = 81
c1 * 81/32 = 81
c1 = 32

Подставляем найденные значения в формулу для суммы и находим n:
32 * ((3/2)^n - 1)/(3/2 - 1) = 665
64 * (3/2)^n - 64 = 665
64 * (3/2)^n = 729
(3/2)^n = 729/64 = (3/2)^6
n = 6