Дано :
ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС).
D ∈ AB, Е ∈ ВС.
АЕ ∩ CD = О.
∠ACD = ∠CAE.
Доказать :
AD = CE.
Доказательство :
Рассмотрим ΔАОС.
Если в треугольнике два угла равны, то он - равнобедренный.Следовательно, ΔАОС - равнобедренный. Причём АО = ОС (боковые стороны), так как лежат против равных углов в одном треугольнике.
Рассмотрим ΔАВС.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Так как ΔАВС - равнобедренный (по условию), то ∠А = ∠С.
Тогда -
∠А = ∠DAO + ∠CAE
∠C = ∠ECO + ∠ACD
Учитывая равенство ∠ACD = ∠CAE и ∠А = ∠С, получаем, что ∠DAO = ∠ECO.
Рассмотрим ΔDOA и ΔEOC.
∠DOA = ∠EOC как вертикальные
∠DAO = ∠ECO по выше сказанному
АО = ОС по выше сказанному
Тогда ΔDOA = ΔEOC по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.Так как ∠DOA = ∠EOC, то по выше сказанному AD = CE.
Что требовалось доказать.
