2(x² + x + 1)² - 7(x - 1)² = 13(x³ - 1)
Введём две новые переменные:
u = x² + x + 1
v = x - 1
Тогда уравнение примет вид:
2u² - 13uv - 7v² = 0
Это однородное уравнение второй степени, делим обе части на v²
2u² - 13uv - 7v² = 0 / v²
2*(u/v)² - 13*(u/v) - 7 = 0
Замена: u/v = y
2y² - 13y - 7 = 0
D = 169 - 4*2*(-7) = 225
y₁ = (13 + 15) / 4 = 7
y₂ = (13 - 15) / 4 = -1/2
Значит, u/v = 7 отсюда u = 7v
или u/v = -1/2 отсюда v = -2u
Вернёмся к переменной x с соотношением u = 7v:
x² + x + 1 = 7(x - 1)
x² + x + 1 = 7x - 7
x² - 6x + 8 = 0
x₁ = 2; x₂ = 4
Вернёмся к переменной x с соотношением v = -2u:
x - 1 = -2(x² + x + 1)
x - 1 = -2x² - 2x - 2
2x² + 3x + 1 = 0
D = 9 - 4*2*1 = 1
x₁ = (-3 + 1) / 4 = -1/2
x₂ = (-3 - 1) / 4 = -1
ответ: 2; 4; -1; -1/2
1) (х+3)⁴ - 13(х+3)² + 36 = 0
проведемо заміну (х+3)² = t
t² - 13t + 36 = 0
знайдемо дискримінат D=169-144=25
√D = √25 = 5
t1=(13+5)/2=18/2=9
t2=(13-5)/2=8/2=4
проведемо зворотню заміну
(х+3)²=9
х²+6х+9=9
х²+6х=0
х(х+6)=0
х=0
х=0х=-6
(х+3)²=4
х²+6х+9=4
х²+6х+5=0
D=36-20=16
√D = √16 = 4
x1=(-6+4)/2=-1
x2=(-6-4)/2=-5
x1=-6, x2=-5, x3=-1, x4=0
2) (x²-9)² - 8(x²-9) + 7 = 0
проведемо заміну (х²-9) = t
t²-8t+7=0
D=64-28=36
√D = √36 = 6
t1=(8+6)/2=7
t2=(8-6)/2=1
проведемо зворотню заміну
х²-9=7
х²=16
х=±4
х²-9=1
х²=10
х=±√10
х1=-4, х2=-√10, х3=√10, х4=4
3) (2х²+3х)² -7(2х²+3х) + 10=0
проведемо заміну (2х²+3х) = t
t²-7t+10=0
D=49-40=9
√9 = 3
t1=(7+3)/2=5
t2=(7-3)/2=2
проведемо зворотню заміну
2х²+3х=5
2х²+3х-5=0
D=9+40=49
√49 = 7
x1=(-3+7)/4=1
x2=(-3-7)/4=-10/4=-5/2=-2,5
2x²+3x=2
2x²+3x-2=0
D=9+16=25
√25 = 5
x1=(-3+5)/4=2/4=1/2=0,5
x2=(-3-5)/4=-8/4=-2
x1=-2,5, x2=-2, x3=0,5, x4=1
ВІДПОВІДЬ:1) x1=-6, x2=-5, x3=-1, x4=0
2) х1=-4, х2=-√10, х3=√10, х4=4
3) x1=-2,5, x2=-2, x3=0,5, x4=1
