Решите тригонометрическое уравнение 4sinxcosx=2sinx

Lim((2x²+15x+25)/(x²+15x+50))=(2*5²+15*5+25)/(5²+15*5+50)=150/150=1
x->5

lim((2x²+15x+25)/(x²+15x+50))=(2*(-5)²+15*(-5)+25)/((-5)²+15*(-5)+50)=0/0
x->-5
1. 2x²+15x+25=2*(x+5)*(x+2,5)
2x²+15x+25=0. x₁=-5, x₂=-2,5
2. x²+15+50=(x+50*(x+10)
x²+15x+50=0
x₁=-5, x₂=-10

lim((2x²+15x+25)/(x²+15x+50))=lim((2*(x+5)*(x+2,5)))/((x+5)*(x+10))=
x=->-5                                          x->-5

=lim(2*(x+2,5)/(x+10))=2*(-5+2,5)/(-5+10)=-5/5=-1
 x->-5

lim((2x²+15x+25)/(x²+15x+50))=∞/∞
x->∞

lim((2x²/x²+15x/x²+25/x²)/(x²/x²+15x/x²+50/x²))=
x->∞
=lim((2+15/x+25/x²)/(1+15/x+50/x²)=2/1=2
   x->∞
величинами 15/x, 25/x², 50/x² можно пренебречь, т.к при x->∞ их значение ->0. они бесконечно малы

1)sinx*cos5x=1/2(sin6x+sin(-4x))=1/2(sin6x-sin4x)

  sin9x*cos3x=1/2(sin12x+sin6x)

    sin6x-sin4x-sin12x-sin6x=0

                sin4x+sin12x=0

   2sin8x*cos4x=0

a)  sin8x=0, 8x=πn, x=πn/8, n∈Z

b)  cos4x=0, 4x=π/2+2πk,  x=π/8+πk/2, k∈Z

Второе множество решений явл. подмножеством первого множества ⇒

ответ:х=πn/8, n∈Z

2)cosx*cos3x=1/2(cos4x+cos2x)  ⇒  cos4x+cos2x=-1

      2cos²2x-1+cos2x+1=0,  t=cos2x  ⇒  2t²+t=0, t(2t+1)=0,  t₁=0, t₂=-1/2

a) cos2x=0, 2x=π/2+2πn, x=π/4+πn, n∈Z

b) cos2x=-1/2, 2x=±arccos(-1/2)+2πk, 2x=±2π/3+2πk, x=±π/3+πk, k∈Z

6) Надо сгруппировать косинусы и синусы и воспользоваться формулами сумма синусов и суммы косинусов,получим:

 2cos2x cosx+2sin2x cosx=0

2cosx(cos2x+sin2x)=0

a) cosx=0, x=π/2+2πn

b)cos2x+sin2x=0. Делим ур-ие на cos2x≠0

    1+tg2x=0, tg2x=-1, 2x=π/4+πk, x=π/8+πk/2

5) (sinx+cosx)²=(sin²x+cos²x)+2sinx cosx=1+2sinx cosx  ⇒ 

  2sinx cosx-cosx=0, cosx(2sinx-1)=0

a)  cosx=0, x=π/2+πn

b) sinx=1/2, x=(-1)^k *π/6+πk

 3) Указание: 2sin²x-1= -cos2x

                           sin4x=2 sin2x cos2x

cos2x(1+1/3sin2x)=0

4) Нказание: cos5x=sin(90-5x). А дальше применить формулу суммы синусов.