№1. Для функции f(x) = 2x2+x найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;2)

№2.Вычислите интеграл:
а) ∫_0^1〖(2x^2 〗-2) dx
б) ∫_(-π )^π〖sin 3x〗 dx
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) параболой у=(х+1)2, прямыми х=-2 и
х= 1 и осью Ох.

б) графиком функции у=4/х при х>0, параболой
у = -х2+ 4х+1.

№1. Чтобы найти первообразную функции f(x) = 2x^2 + x, мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x). Запишем это в виде уравнения: F'(x) = 2x^2 + x.

Для нахождения первообразной, воспользуемся правилами интегрирования:
∫(2x^2 + x) dx = ∫2x^2 dx + ∫x dx.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
∫2x^2 dx = (2/3)x^3,
∫x dx = (1/2)x^2.

Теперь объединим полученные интегралы:
∫(2x^2 + x) dx = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 + C,

где C - произвольная постоянная. Чтобы найти значение этой постоянной, воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку A(1;2). Подставим значения x = 1 и y = 2 в полученное выражение:
2 = (2/3)·1^3 + (1/2)·1^2 + C,
2 = 2/3 + 1/2 + C,
2 = 4/6 + 3/6 + C,
2 = 7/6 + C,
C = 2 - 7/6,
C = 5/6.

Итак, первообразная функции f(x) = 2x^2 + x, проходящая через точку A(1;2), равна F(x) = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 + 5/6.

№2.а) Чтобы вычислить интеграл от функции (2x^2 - 2) от 0 до 1, воспользуемся формулой определенного интеграла:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a),

где F(x) - первообразная функции f(x).

Вычислим значения первообразной F(x) = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 + C от 0 до 1:
F(1) - F(0) = [(2/3)·1^3 + (1/2)·1^2 + C] - [(2/3)·0^3 + (1/2)·0^2 + C]
= [(2/3) + (1/2) + C] - [C]
= 2/3 + 1/2 + C - C
= 2/3 + 1/2
= 4/6 + 3/6
= 7/6.

Итак, ∫[0,1] (2x^2 - 2) dx = 7/6.

б) Чтобы вычислить интеграл от функции sin(3x) от -π до π, воспользуемся также формулой определенного интеграла:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a),

где F(x) - первообразная функции f(x).

Вычислим значения первообразной F(x) = -cos(3x)/3 от -π до π:
F(π) - F(-π) = [-cos(3·π)/3] - [-cos(3·(-π))/3]
= [cos(3π)/3] - [cos(-3π)/3]
= [-1/3] - [1/3]
= -1/3 - 1/3
= -2/3.

Итак, ∫[-π,π] sin(3x) dx = -2/3.

№3.а) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x + 1)^2, прямыми x = -2 и x = 1, а также осью Ox, мы должны вычислить определенный интеграл от функции y = (x + 1)^2 на отрезке [-2, 1]:
∫[-2,1] (x + 1)^2 dx.

Вычислим этот интеграл:
∫[-2,1] (x + 1)^2 dx = ∫[-2,1] (x^2 + 2x + 1) dx.

Раскроем квадрат и интегрируем каждое слагаемое:
∫[-2,1] (x^2 + 2x + 1) dx = ∫[-2,1] x^2 dx + ∫[-2,1] 2x dx + ∫[-2,1] 1 dx.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
∫[-2,1] x^2 dx = (1/3)x^3,
∫[-2,1] 2x dx = x^2,
∫[-2,1] 1 dx = x.

Теперь объединим полученные интегралы:
∫[-2,1] (x^2 + 2x + 1) dx = (1/3)x^3 + x^2 + x |_[-2,1].

Вычислим значения на верхнем и нижнем пределах:
[(1/3)·1^3 + 1^2 + 1] - [(1/3)(-2)^3 + (-2)^2 + (-2)]
= (1/3 + 1 + 1) - (-8/3 + 4 - 2)
= (3/3 + 3) - (-8/3 + 12/3 - 2)
= 6/3 - (-6/3)
= 2 - (-2)
= 4.

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x + 1)^2, прямыми x = -2 и x = 1, а также осью Ox, равна 4.

б) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4/x при x > 0, параболой y = -x^2 + 4x + 1, мы должны вычислить определенный интеграл от функций y = 4/x и y = -x^2 + 4x + 1 на соответствующих отрезках.

Определим точки пересечения этих функций:
4/x = -x^2 + 4x + 1,

x^3 - 4x^2 + 4x + 1 = 0.

Аналитическое решение этого уравнения может быть сложным, поэтому воспользуемся численными методами или графическим представлением функций, чтобы определить точки пересечения.

После определения точек пересечения, вычислим определенный интеграл от функций y = 4/x и y = -x^2 + 4x + 1 на соответствующих отрезках и найдем разность этих интегралов. Полученный результат будет площадью фигуры, ограниченной заданными функциями.

К сожалению, без конкретных значений точек пересечения или графического представления функций, площадь фигуры невозможно вычислить.