Цифры трехзначного числа последовательно уменьшаются. Из этого числа вычитают число,цифры которого записаны в обратном порядке. Докажите что полученная разность делится на 2,9,11

а)

б) 324

Объяснение:

а)

И числитель и знаменатель это формула сокращенного умножения, а точнее разница квадратов. Раскладывается следующим образом:

a² - b² = (a - b) × (a + b)

Сначала разберемся с числителем:

1) 17.5² - 9.5² = (17.5 - 9.5) × (17.5 - 9.5)

2) (17.5 - 9.5) × (17.5 - 9.5) = (8) × (27); (в конце скобки писать не обязательно, это я для наглядности)

Так и оставим пока что. Далее действия со знаменателем:

1) 131.5² - 3.5² = (131.5 - 3.5) × (131.5 + 3.5)

2) (131.5 - 3.5) × (131.5 + 3.5) = (128) × (135); (в конце скобки писать не обязательно, это я для наглядности)

Подставляем числитель и знаменатель:

8 и 128 сокращаются. Так же 27 и 135 сокращаются:

б)

В числителе находится формула сокращенного умножения, а точнее сумма кубов. Раскладывается следующим образом:

а³ + b³ = (a + b) × (a² - ab + b³)

Разберемся с числителем:

1) 59³ + 43³ = (59 + 41) × (59² - 59 × 41 + 41²)

2) (59 + 41) × (59² - 59 × 41 + 41²) = (100) × (59² - 59 × 41 + 41²)

Так пока и оставим (100 не обязательно брать в скобки, это я для наглядности).

Поставим получившийся пример обратно в числитель:

100 и 100 сокращаются:

59² - 59 × 41 + 41² - 59 × 41 = 59² + 41² - 59 × 41 - 59 × 41 (от перемены мест слагаемых сумма не изменяется)

59² + 41² - 59 × 41 - 59 × 41 = 59² - 2 (59 × 41) + 41²

Это разложенный вид формули сокращенного умножения, а точнее квадрата разницы. Складывается следующим образом:

a² - 2ab + b² = (a - b)²

59² - 2 (59 × 41) + 41² = (59 - 41)² = 18² = 324

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х). Определение 2. Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х). Пример 1. Доказать, что у = х4 — четная функция. Решение. Имеем: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Но (-х)4 = х4. Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной. Аналогично можно доказать, что функции у — х2,у = х6,у — х8 являются четными. Пример 2. Доказать, что у = х3~ нечетная функция. Решение. Имеем: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Но (-х)3 = -х3. Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной. Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х5, у = х7 являются нечетными. Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х3, у = х5, у = х7 — нечетные функции, тогда как у = х2, у = х4, у = х6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х" — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная. Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Функция Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х). Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.