3x+cosx=3y+cosy
3x-y=6
3x+cos(x)=3y+cos(y)
3x-3y=cos(y)-cos(x)
(3x-y)-2y=cos(y)-cos(x)
6-2y=cos(y)-cos(x)
|cos(y)-cos(x)|<=2 => |6-2y|<=2
|6-2y|<=2
-2<=6-2y<=2
-1<=3-y<=1
-1-3<=-y<=1-3
-4<=-y<=-2
2<=y<=4
3x-y=6
3x-6=y => 2<=3x-6<=4
2+6<=3x<=4+6
8/3<=x<=10/3
ОДЗ такое:
0.848pi~2.66666667~8/3<=x<=10/3~3.33333333~1.06pi
0.63pi~2<=y<=4~1.27pi
3x-3y=cos(y)-cos(x)
Простым решением будет x=y, и требование 3x-6=y дает решение:
3x-6=x => x=6/2=3 => x=y=3
Надо поискать решения для случая x<>y.
(x-y)/(cos(x)-cos(y))=-1/3
Отношение показывает, что модуль разница между аргументами числителя в 3 раза меньше модуля разницы между аргументами знаменателями.
Пусть y=x+d тогда
(x-(x+d))/(cos(x)-cos(x+d))=-1/3
d/(cos(x)-cos(x+d))=-1/3
cos(x)-cos(x+d)=2sin(x+d/2)sin(d/2)
d/(2sin(x+d/2)sin(d/2))=-1/3
[(d/2)/sin(d/2)]*[1/sin(x+d/2)]=-1/3
d=y-x
2-10/3<=d<=4-8/3
-0.42pi~-4/3<=d<=4/3~0.42pi
Выражение [(d/2)/sin(d/2)]>1 при таких значениях d (т.к. длина части окружности для угла равного d больше чем длина стягивающей хорды для того же угла, и значит их половинки также соотносятся)
|1/sin(x+d/2)|>=1 ,т.к. |sin(x+d/2)|<=1 в любом раскладе
Значит модуль
|[(d/2)/sin(d/2)]*[1/sin(x+d/2)]|>|1|*|1|>1
Но модуль |-1/3|<1 следовательно при x<>y решений нет.
ответ: x=y=3
№1
находим корни числителя и знаменателя:
(x-3)^2 - всегда принимает неотрицательные значения. Значит при переходе через точку 3 неравенство знак не поменяет.
Используем метод интервалов:
точки (-2) и 5 - выколотые.
+ - + + - +
-------[-3]--------(-2)-------[3]--------(5)--------[8]---------->x
![x\in [-3;-2)\cup (5;8] \cup \{ 3 \}](/tpl/images/0999/4162/b28f6.png)
ответ:
№2
точки (-1) и 4 - выколотые
+ + - +
------[-6]------(-1)------(4)------->x
ответ:
№3
замена:
получим:
обратная замена:
+ - + - +
-------[-√3]-------[-√2]--------[√2]-------[√3]-------->x
![x\in (-\infty;-\sqrt{3}]\cup [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup [\sqrt{3};+\infty)](/tpl/images/0999/4162/cc812.png)
ответ:
