Преобразуйте уравнение 〖(х-2)〗^2=3х(х-1) к виду ax^2+bx+c=укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член.

1)tgx·sin²y·dx+cos²x·ctgy·dy=0 - уравнение с разделяющимися переменными.
(tgxdx/cos²x)=-ctgydy/sin²y
интегрируем
∫(tgxdx/cos²x)=-∫ctgydy/sin²y
или
∫tgxd(tgx)=∫ctgyd(ctgy)
tg²x/2=ctg²y/2+с
или
умножим на 2 и обозначим С=2с
tg²x=ctg²y+С
О т в е т. tg²x=ctg²y+С

2) Уравнение, допускающее понижение порядка.
Замена переменной
y`=z
y``=z`
z`-hz=0
Уравнение с разделяющимися переменными
dz/dx=hz⇒  dz/z=hdx
интегрируем
∫(dz/z)=∫hdx;
ln|z|=hx+c
z=e^(hx+c)=C₁eˣ
y`=C₁eˣ- уравнение с разделяющимися переменными
у=С₁eˣ+C₂
О т в е т.  у=С₁eˣ+C₂
3) Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение
k²+2k+5=0
D=4-4·5=-16
√D=4i
k₁,₂=(-2±4i)/2=-1±2i
Общее решение имеет вид
у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β)
О т в е т.  у=e⁻ˣ(С₁cos2β+C₂sin2β)

Складемо  рівняння для визначення чисельника початкового дробу,позначивши його через x (x > 0).

тоді знаменник дорінює (х+7), дріб х/(х+7), якщо чисельник цього дробу зменшити на 1, а знаменник збільшити на 4, то дріб дорівнюватиме (х-1)/(х+11)

Згідно умови задачі маємо таке рівняння.

х/(х+7)- (х-1)/(х+11)=1/6

6*(х²+11х-х²-7х+х+7)=х²+11х+7х+77

-30х-42+х²+18х+77=0

х²-12х+35=0   За теоремою Вієта  х=5 , х=7

Таким чином, чисельник початкового дробу дорівнює 5, дріб 5/12,

перевіримо  5/12-4/16=5/12-1/4=5/12-3/12=2/12=1/6. вірно.

або 7, дріб 7/14, якщо його скоротити, то не виконується умова. але перевіривши 7/14-6/18=1/2-1/3=1/6, тому дріб 7/14 підпадає під відповідь.

Відповідь. 7/14 або 5/12