4. [ ) На зачетном уроке по бегу на 1000 м мальчики 8 класса показали
следующие результаты:
3-й 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й 9-й 10-й
250 210 270 180 205 225 255 275 220
Составьте интервальную таблицу с шагом, равным 20.
Найдите среднее арифметическое полученных результатов.​

1) 
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
- уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала

Интегрируя обе части уравнения, получаем

- общее решение


Разделяем переменные


интегрируя обе части уравнения, получаем

 - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3.
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.


Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену 
, тогда 

Подставляем в исходное уравнение



Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала



Разделяем переменные



Интегрируя обе части уравнения, получаем





Обратная замена

 - общий интеграл

Пример 4. 
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:


Тогда общее решение будет иметь вид:

 - общее решение

Пример 5. 
Аналогично с примером 4)
Пусть , тогда получаем


Общее решение: 

Найдем производную функции


Подставим начальные условия



 - частное решение

F(x) = ln(x - 2);
Область определения: x - 2 > 0; x > 2;
Функция непрерывна, на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Пусть a ─ произвольная точка области определения. Докажем что lim Δx -> 0 (f(a + Δx) - f(a)) = 0;
f(a + Δx) - f(a) = ln(a + Δx - 2) - ln(a - 2) = ln((a + Δx - 2) / (a - 2)) = ln(1 + Δx/(a - 2)); t = Δx/(a - 2); при Δx -> 0: t -> 0.
lim t -> 0 ln(1 + t)/t = 1(второй замечательный предел) => lim x -> 0 (f(a + Δx) - f(a)) = lim x -> 0 Δx/(a - 2) = 0; => функция непрерывна.