91² = (90 + 1)² = 90² + 2 * 90 * 1 + 1² = 8100 + 180 + 1 = 8281
69² = (70 - 1)² = 70² - 2 * 70 * 1 + 1² = 4900 - 140 + 1 = 4761
102² = (100 + 2)² = 100² + 2 * 100 * 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404
48² = (50 - 2)² = 50² - 2 * 50 * 2 + 2² = 2500 - 200 + 4 = 2304
89² = (90 - 1)² = 90² - 2 * 90 * 1 + 1² = 8100 - 180 + 1 = 7921
35² = (30 + 5)² = 30² + 2 * 30 * 5 + 5² = 900 + 300 + 25 = 1225
65² = (60 + 5)² = 60² + 2 * 60 * 5 + 5² = 3600 + 600 + 25 = 4225
125² = (100 + 25)² = 100² + 2 * 100 * 25 + 25² = 10000 + 5000 + 625 = 15625
Задачу можно понимать 2 разными по итогу решим оба варианта)
1-ый вариант, когда каждый раз прибавляется дробная часть исходного числа.
2-ой вариант, когда прибавляется дробная часть последнего полученного числа.
Решаем по 1-ому варианту.
Представим число 
как сумму целой и дробной части ![x=[x]+\{x\}](/tpl/images/1046/7614/80e50.png)
, так вот, дробной части у нас аж 3, так как Петя два раза её прибавляет
Тогда получается такое равенство: ![[x]+3\{x\}=3; \ [x] \in \mathbb{N}](/tpl/images/1046/7614/d5f72.png)
Нулевой икс в целой части нет смысла рассматривать, так как дробная часть ограничена 
Учитываем, что целая часть числа целая, значит, и 
- число тоже целое. Это возможно только в том случае, если 
или просто целое число (1 не может быть, только 0) или дробь со знаменателем 3, то есть рассматриваем
![\displaystyle 1) \{x\}=0 \Rightarrow [x]=3-3\{x\}=3 \Rightarrow x=3 \\ 2) \{x\}=\frac{1}{3} \Rightarrow [x]=3-3\cdot \frac{1}{3}=3-1=2 \Rightarrow x=2\frac{1}{3} \\ 3) \{x\}=\frac{2}{3} \Rightarrow [x]=3-3\cdot \frac{2}{3}=3-2=1 \Rightarrow x=1\frac{2}{3}](/tpl/images/1046/7614/4a9eb.png)
пойдет в любом случае, а вот остальные два дробных ответа идут только в том случае, если калькулятор поддерживает арифметику с округлениями (такие, естественно, существуют, у меня дома есть такой, инженерный, он чуть поумнее стандартного калькулятора, причем необязательно программируемый).
Соответственно, начать он с этих чисел мог с инженерного калькулятора в том числе и после некоторых дробных вычислений, так что условие задачи выполнено.
Можно, конечно, и проверить эти числа ради интереса
ответ: 
Решаем по 2-му варианту.
Первое число
Второе число ![[x]+\{x\}+\{x\}=[x]+2\{x\}](/tpl/images/1046/7614/40ce1.png)
А далее все зависит от дробной части второго числа.
Если 
, то есть вся дробная часть прибавится и получится третье число
![[x]+2\{x\}+2\{x\}=[x]+4\{x\}](/tpl/images/1046/7614/79495.png)
![[x]+4\{x\}=3; \ 4\{x\} \in \mathbb{Z}; \ 0 \leq \{x\}](/tpl/images/1046/7614/9810d.png)
Два числа получили.
Теперь рассматриваем случай 
То есть потенциальная дробная часть получается больше единицы, значит, необходимо эту единицу оттуда убрать и добавить к целой части, получается вот что:
![[x]+2\{x\}=[x]+1+(2\{x\}-1)](/tpl/images/1046/7614/56ff7.png)
, где в скобках дробная часть второго числа
Теперь третье число:
![[x]+1+(2\{x\}-1)+2\{x\}-1=[x]+4\{x\}-1=3 \Rightarrow \\ \Rightarrow [x]+4\{x\}=4; \ 0.5 \leq \{x\}](/tpl/images/1046/7614/f8252.png)
Получили ещё 2 значения, их можно не проверять, но я все же напишу цепочки для достоверности:
ответ: 
