Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, тогда (х + 2) км/ч - скорость по течению реки, (х - 2) км/ч - скорость против течения реки; 29 - 5 = 24 ч - время движения туда и обратно. Уравнение:
140/(х+2) + 140/(х-2) = 24
140 · (х - 2) + 140 · (х + 2) = 24 · (х - 2) · (х + 2)
140х - 280 + 140х + 280 = 24 · (х² - 2²)
280х = 24х² - 96
24х² - 280х - 96 = 0
Сократим обе части уравнения на 8
3х - 35 - 12 = 0
D = b² - 4ac = (-35)² - 4 · 3 · (-12) = 1225 + 144 = 1369
√D = √1369 = 37
х₁ = (35-37)/(2·3) = (-2)/6 = -1/3 (не подходит для скорости)
х₂ = (35+37)/(2·3) = 72/6 = 12
12 + 2 = 14 км/ч - с такой скоростью плыл по течению
12 - 2 = 10 км/ч - с такой скоростью плыл против течения
ответ: 14 км/ч - туда и 10 км/ч - обратно.
