17.5. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1) 1/2;1/3;...;
2)√3;1;1/√3;...;
3)√2; -1; 1/√2
4) 3/7; -9/49; 27/343;...;
5) 3√3; -3; √3/3;...;
6) 5; -15; 1; ...

Производная по определению - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

 

Δy = f(x+Δx) - f(x) = √(1+2(x+Δx)) - √(1+2x) = √(1+2x+2Δx) - √(1+2x)

Преобразуем выражение, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

(√(1+2x+2Δx) - √(1+2x))(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = (1+2x+2Δx - 1 -2x)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))= (2Δx)/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))

Δy/Δx = 2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x))

limΔx->0 (2/(√(1+2x+2Δx) + √(1+2x)) = 2/(√(1+2x) + √(1+2x)) = 2/(2√(1+2x) = 1/√(1+2x)

ответ: y' = 1/√(1+2x)

Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:

Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:


Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:


Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
- окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
- стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
ответ: р=-1