Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометри- ческой прогрессии: ...

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

Через час, сделав круг, минутная стрелка возвратится в исходную позицию, а часовая сместится на  1/12 окружности вперёд-  360°/12 = 30°.
Для соответствия условию, минутная стрелка должна быть либо биссектрисой угла 30°, образуемого предыдущей и настоящей позициями часовой стрелки, либо дополняющим такую биссектрису лучом.

Пусть угол между часовой и минутной стрелками- а, тогда:
в первом случае угол а₁= 30° / 2 = 15°, 
во втором  а₂ = (360° – 30°) / 2 = 165°.

Переведём градусы а в минуты (деления часов)
м₁=60*15/360=2,5
м₂=60*165/360=27,5

если минутная стрелка указывает ровно посредине между 40 и 41 минутой   (40,5)

то часосая указывает
  в первом ислучае- 40,5 +2,5 = 43
  во втором  40,5+27,5 = 68 = 8 минут на часах

ответ: часовая стрелка в момент прихода Васи может указывать на (через пробел в порядке возрастания) 8 43 деления часов.