а) Преобразуйте выражение, чтобы получить многочлен стандартного вида. Укажите степень многочлена.
(2х² - 2)² - 4х³(х³ + х² - х - 2) + 4(х²)³ + 20х⁹/5х⁴ - 2(4х³ + 1) =
= 4х⁴ - 8х² + 4 - 4х⁶ - 4х⁵ + 4х⁴ + 8х³ + 4х⁶ + 4х⁵ - 8х³ - 2 =
= 8х⁴ - 8х² + 2. Стандартный вид. Степень (х⁴) = 4.
б) Докажите, что при любых целых значениях x многочлен делится на 2.
Вынести общий множитель 2 за скобки;
8х⁴ - 8х² + 2 = 2(4х⁴ - 4х² + 1). Полученное выражение при любых целых значениях х делится на 2.в) Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.
После вынесения общего множителя 2 в скобках будет квадрат суммы, который больше 0 при любом значении
2(4х⁴ - 4х² + 1) = 2(2х² + 1)².
Так как произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю, то систему можно представить в виде совокупности двух систем:
Решаем первую систему.
Из первого уравнения получим:
Подставим во второе:
Получили неверное равенство. Уравнение не имеет решений. Значит и первая система не имеет решений.
Решаем вторую систему.
Из первого уравнения получим:
Подставим во второе уравнение:
Так как сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то корни уравнения:
ответ: (-1; -2); (9; -2)
