4) Знайдіть різницю арифметичної прогресії (а), якщо a = 4; = as = -13.

Корнями уравнения (x+2)(p-x)=0 будут x=-2 и x=p
При любом значении параметра p графиком функции y=(x+2)(p-x) будет парабола ветвями вниз. Т.е. функция будет положительна на отрезке между корнями и отрицательна вне этого отрезка.
Начнём с варианта г.
Одно целое число в ответе уже есть - это -2.
Также целочисленным ответом является значение x=p (т.к. по условию p - целое). Значит, ровно одно целое число будет в том случае, если эти 2 решения совпадают. А это будет в том случае, если p=-2.
в). 2 целых числа будут в случае, если p≠-2, и при этом на отрезке между p и -2 нет целых значений. Это будет в том случае, если -2 и p - соседние целые числа. Отсюда p=-1 или p=-3.
а). 4 целых числа означает, что кроме решений x=-2 и x=p есть еще 2 решения. Т.е. длина отрезка между -2 и p равна 3.
|p-(-2)|=3
|p+2|=3
p+2=3 или -(p+2)=3
p=1 или p=-5

Если p=1, то решениями будут x=-2; x=-1; x=0 и x=1
Если p=-5, то решениями будут x=-2; x=-3; x=-4 и x=-5

в). 2 натуральных числа означает, что на отрезке между -2 и p есть ровно 2 натуральных значения. Т.к. -2 < 0, то p должно быть положительным. Однако в этом случае натуральными значениями на отрезке могут быть только значения 1 и 2. Причем последнее и должно быть p.

ответ:
a) p=-5 (x∈(-2;-3;-4;-5)) или p=1 (x∈(-2;-1;0;1))
б) p=2 (x∈(-2;-1;0;1;2))
в) p=-1 (x∈(-2;-1)) или p=-3 (x∈(-2;-3))
г) p=-2 (x=-2)

Что же такого необычного в Гаусса?

Если нам нужно сложить ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ числа то есть одна хитрая закономерность: 
например 1+2+3+4++10 то нужно разбить числа на пары
1+10=11; 2+9=11; 3+8=11; 4*7=11; 5+6=11
Таких пар 5 (10/2=5) и каждая в сумме дает 11. Значит сумма всех чисел 11*5=55 

Теперь рассмотрим наш пример

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11

Есть последовательность от -1 до -11
всего пар 11:2= 5 и остаток 1
Значит пар будет 5 и одно число(в центре) осталось без пары.
Какое же это число? Это число -6
Найдем сумму крайних чисел 
-1+(-11)=-12
Значит сумма этих чисел равна

5*(-12)+(-6)=-60-6= -66