∀a ∈ ℝ: {a} ∈ [0; 1) ⇒ {x} - 1 ∈ [-1; 0).
∀a ∈ ℝ: [a] ∈ ℤ ⇒ [x] + ... + [x²⁰⁰³] ∈ ℤ.
Но [x] + ... + [x²⁰⁰³] = {x} - 1. Значит, {x} - 1 ∈ ℤ ∩ [-1; 0), то есть {x} - 1 = -1, или {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ.
Теперь переформулируем задачу.
Найдите все целые решения уравнения x²⁰⁰³ + ... + x + 1 = 0.
По следствию из теоремы Безу целые корни многочлена должны являться делителями свободного члена. В нашем случае свободный член - 1. У него два делителя: 1 и -1. Очевидно, что 1²⁰⁰³ + ... + 1 + 1 ≠ 0, а (-1)²⁰⁰³ + ... + (-1) + 1 = 0. Значит, имеем корень, равный -1. Других целых решений, как оговаривалось ранее, нет.
ответ: x = -1.
Объяснение:
1) a5 = a1 + 4d; a9 = a1 + 8d; a7 = a1 + 6d
{ a1 + a1 + 4d = 14
{ a1 + 8d - (a1 + 6d) = 4
Упрощаем
{ 2a1 + 4d = 14
{ 2d = 4
Получаем
{ d = 2
{ a1 + 2d = 7;
a1 = 7 - 2*2 = 3
2) b1 = 2; b4 = b1*q^3 = - 16
Отсюда
q^3 = - 16/b1 = - 16/2 = - 8
q = - 2
S(6) = b1*(q^6 - 1) / (q - 1) = 2*((-2)^6 - 1) / (-2 - 1) = 2*(64-1)/(-3) = - 2*63/3 = - 42
S(6) = - 42
3) Условие недописано, решить не могу.
4) b2 = b1*q = 4; b5 = b1*q^4 = - 32
Найти S(4).
{ b1*q = 4
{ b1*q^4 = - 32
Делим второе уравнение на первое уравнение
(b1*q^4) : (b1*q) = - 32 : 4
q^3 = - 8
q = - 2
Подставляем в первое уравнение
b1*(-2) = 4
b1 = 4/(-2) = - 2
S(4) = b1*(q^4 - 1)/(q - 1) = - 2*((-2)^4 - 1) / (-2 - 1) = - 2*(16-1)/(-3) = - 2*(-5) = 10
S(4) = 10
