Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^2√(1-x^2) нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю:
f(x) = x^2√(1-x^2)
f'(x) = 2x√(1-x^2) - x^3 / √(1-x^2)
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
2x√(1-x^2) - x^3 / √(1-x^2) = 0
2x(1-x^2) - x^3 = 0
x(2-3x^2) = 0
Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x = 0, x = √(2/3) и x = -√(2/3).
Чтобы убедиться, что эти точки являются точками минимума или максимума, необходимо проанализировать знак производной в окрестности каждой точки. Можно использовать таблицу знаков, которая будет такой:
| x | -√(2/3) | 0 | √(2/3) |
|||||
| f'(x) | + | 0 | - |
| f(x) | - | 0 | + |
Таким образом, точка x = 0 является точкой минимума, а точки x = √(2/3) и x = -√(2/3) являются точками максимума.
