Расстояние 1400 км пассажирский поезд проходит и на 8 часа быстрее товарного поезда.скорость пассажирского поезда больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. найти время движения и скорость каждого поезда. если известно что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, тогда х + 50 км/ч - скорость мотоциклиста. 
S = v * t - формула пути
S = 96 км - расстояние между пунктами
v = х + х + 50 = 2х + 50 км/ч - скорость сближения
t = 1,2 ч - время сближения
Подставим все значения в формулу и найдём х
(2х + 50) * 1,2 = 96
2х + 50 = 96 : 1,2
2х + 50 = 80
2х = 80 - 50
х = 30 : 2
х = 15 (км/ч) - скорость велосипедиста
15 + 50 = 65 (км/ч) - скорость мотоциклиста
1) 15 * 1,2 = 18 (км) - проехал до встречи велосипедист
2) 65 * 1,2 = 78 (км) - проехал до встречи мотоциклист
ответ: 18 км и 78 км.

Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1

Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]

Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n

y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.

Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1

Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.

∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)

При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1

Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)