Если разделить произведение 8*15*20*30*40*50 на 7, какой остаток получится(без вычисления на калькуляторе) ответы: 1,2,3,4. быстро написал прогну на java, которая высчитала ответ(4), но хочется узнать как решать, это без "программной ".

Остатки при делении на одно и тоже число перемножаются при умножении этих чисел:
8 дает остаток 1
15 дает остаток 1
20 дает остаток 6
30 дает остаток 2
40 дает остаток 5
50 дает остаток 1
1*1*6*2*5*1=60
60 при делении на 7 дает остаток 4